El Método de Gauss-Jordan es un algoritmo matemático que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es una variante del método de Gauss, y se realiza en tres pasos:
1. Convertir la matriz del sistema en una matriz escalonada reducida.
2. Utilizar la matriz escalonada reducida para resolver el sistema de ecuaciones.
3. Comprobar si el sistema es consistente o inconsistente.
Procedimiento
Para convertir una matriz en una matriz escalonada reducida, se realizan las siguientes operaciones elementales:
- Intercambiar dos filas.
- Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero.
- Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
Una vez que la matriz está en forma escalonada reducida, se puede utilizar para resolver el sistema de ecuaciones. Para ello, se procede de la siguiente manera:
- Empezar por la última fila de la matriz escalonada reducida.
- Resolver la ecuación correspondiente a esa fila.
- Utilizar la solución de esa ecuación para resolver la ecuación correspondiente a la fila anterior.
- Continuar de esta manera hasta resolver todas las ecuaciones.
Ejemplos
Ejemplo 1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = 6
2x – y + z = 4
x + 2y – z = 1
Solución:
Convertimos la matriz del sistema en una matriz escalonada reducida:
[1 1 1 | 6]
[2 -1 1 | 4]
[1 2 -1 | 1]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-2R1 + R2 -> R2
[1 1 1 | 6]
[0 -3 3 | -8]
[1 2 -1 | 1]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-R1 + R3 -> R2
[1 1 1 | 6]
[0 -3 3 | -8]
[0 1 -2 | -5]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-R2 + R1 -> R1
[1 0 -2 | 14]
[0 -3 3 | -8]
[0 1 -2 | -5]
Realizamos la siguiente operación elemental:
1/3 R2 -> R2
[1 0 -2 | 14]
[0 1 -1 | 8/3]
[0 1 -2 | -5]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-R2 + R3 -> R3
[1 0 -2 | 14]
[0 1 -1 | 8/3]
[0 0 -1 | -23/3]
La matriz escalonada reducida es:
[1 0 -2 | 14]
[0 1 -1 | 8/3]
[0 0 -1 | -23/3]
Utilizamos la matriz escalonada reducida para resolver el sistema de ecuaciones:
-z = -23/3
z = 23/3
y – z = 8/3
y = 8/3 + 23/3
y = 31/3
x – 2z = 14
x = 14 + 2(23/3)
x = 14 + 46/3
x = 74/3
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
x = 74/3
y = 31/3
z = 23/3
Ejemplo 2:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y – z = 1
2x – y + z = 4
x + 2y – z = 7
Solución:
Convertimos la matriz del sistema en una matriz escalonada reducida:
[1 1 -1 | 1]
[2 -1 1 | 4]
[1 2 -1 | 7]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-2R1 + R2 -> R2
[1 1 -1 | 1]
[0 -3 3 | 2]
[1 2 -1 | 7]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-R1 + R3 -> R2
[1 1 -1 | 1]
[0 -3 3 | 2]
[0 1 -2 | 6]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-R2 + R1 -> R1
[1 0 -2 | -1]
[0 -3 3 | 2]
[0 1 -2 | 6]
Realizamos la siguiente operación elemental:
1/3 R2 -> R2
[1 0 -2 | -1]
[0 1 -1 | 2/3]
[0 1 -2 | 6]
Realizamos la siguiente operación elemental:
-R2 + R3 -> R3
[1 0 -2 | -1]
[0 1 -1 | 2/3]
[0 0 -1 | 3]
La matriz escalonada reducida es:
[1 0 -2 | -1]
[0 1 -1 | 2/3]
[0 0 -1 | 3]
Utilizamos la matriz escalonada reducida para resolver el sistema de ecuaciones:
-z = 3
z = -3
y – z = 2/3
y = 2/3 – 3
y = 1/3
x – 2z = -1
x = -1 + 2(-3)
x = -1 – 6
x = -7
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
x = -7
y = 1/3
z = -3
Conclusión
El Método de Gauss-Jordan es un método poderoso para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es fácil de aplicar y produce resultados precisos. Este método se utiliza en una amplia variedad de aplicaciones, incluyendo la ingenierÃa, la fÃsica y la economÃa.
