¡Hola a todos! Bienvenidos a mi blog, donde exploraremos el fascinante mundo de las matemáticas, especialmente el “Sistema de Ecuaciones Diferenciales Resuelto por Transformada de Laplace”.
¿Qué es una Transformada de Laplace?
La transformada de Laplace es una herramienta matemática que nos permite convertir una función en el dominio del tiempo a otra función en el dominio de la frecuencia. Esto es útil para resolver ecuaciones diferenciales, ya que nos permite convertir la ecuación en una forma más simple que se puede resolver fácilmente.
¿Cómo funciona?
La transformada de Laplace se define como: $$F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$
donde $F(s)$ es la transformada de Laplace de $f(t)$, $s$ es la variable compleja y $t$ es la variable del tiempo.
Propiedades de la Transformada de Laplace
- Linealidad: $L(af(t) + bg(t)) = aL(f(t)) + bL(g(t))$
- Derivación: $L(f'(t)) = sL(f(t)) – f(0)$
- Integración: $L(\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau) = \frac{1}{s}L(f(t)) + \frac{f(0)}{s}$
- Convolución: $L(f(t) * g(t)) = L(f(t))L(g(t))$
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con la Transformada de Laplace
La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de manera eficiente. El proceso general es el siguiente:
- Aplicar la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema.
- Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas resultante.
- Aplicar la transformada inversa de Laplace a la solución del sistema de ecuaciones algebraicas para obtener la solución del sistema de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo
Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
$$\begin{cases} x’ + y’ = 1, \\ x – y = 0, \\ x(0) = 1, \\ y(0) = 0. \end{cases}$$
Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación, obtenemos:
$$\begin{cases} (s+1)X(s) + (s+1)Y(s) = \frac{1}{s}, \\ X(s) – Y(s) = 0, \end{cases}$$
Resolviendo este sistema de ecuaciones algebraicas, encontramos que:
$$\begin{cases} X(s) = \frac{1}{(s+1)^2}, \\ Y(s) = \frac{1}{s+1}. \end{cases}$$
Aplicando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la solución del sistema de ecuaciones diferenciales:
$$\begin{cases} x(t) = te^{-t}, \\ y(t) = e^{-t}. \end{cases}$$
Algunos Problemas Resueltos
Aquà hay algunos problemas resueltos relacionados con el “Sistema de Ecuaciones Diferenciales Resuelto por Transformada de Laplace”:
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: $$\begin{cases} x’ + y’ = 1, \\ x – y = 0, \\ x(0) = 1, \\ y(0) = 0. \end{cases}$$ Solución: $$\begin{cases} x(t) = te^{-t}, \\ y(t) = e^{-t}. \end{cases}$$
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: $$\begin{cases} x” + y’ = 0, \\ x’ – y’ = 1, \\ x(0) = 0, \\ y(0) = 1. \end{cases}$$ Solución: $$\begin{cases} x(t) = \frac{1}{2}(e^t + e^{-t}), \\ y(t) = \frac{1}{2}(e^t – e^{-t}). \end{cases}$$
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: $$\begin{cases} x” + y’ = 1, \\ x’ – y’ = 0, \\ x(0) = 1, \\ y(0) = 0. \end{cases}$$ Solución: $$\begin{cases} x(t) = \cosh(t) + \sinh(t), \\ y(t) = \sinh(t). \end{cases}$$
Conclusión
En este blog, hemos explorado el “Sistema de Ecuaciones Diferenciales Resuelto por Transformada de Laplace”. Hemos visto cómo la transformada de Laplace se puede utilizar para convertir un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones algebraicas, que es más fácil de resolver. También hemos visto algunos ejemplos de problemas resueltos relacionados con este tema.
¡Espero que hayan disfrutado de este viaje matemático! Si tienen alguna pregunta, no duden en dejarla en los comentarios. ¡Hasta la próxima!
