Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas Metodo De Determinantes
En esta entrada del blog, vamos a hablar del Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas Metodo De Determinantes, una forma poderosa de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a empezar con una breve introducción a los determinantes, y luego vamos a ver cómo se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
¿Qué Son Los Determinantes?
Un determinante es un número que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada. Las matrices cuadradas son matrices que tienen el mismo número de filas y columnas. El determinante de una matriz cuadrada se puede calcular utilizando la regla de Sarrus, la regla de Laplace o la regla de Cramer.
¿Cómo Se Utilizan Los Determinantes Para Resolver Sistemas De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas?
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método de determinantes, primero necesitamos escribir el sistema de ecuaciones en forma de matriz. Una vez que tengamos el sistema de ecuaciones en forma de matriz, podemos utilizar la regla de Cramer para calcular los valores de las incógnitas. La regla de Cramer es la siguiente:
$$\text{Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, con dos incógitas, } \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1,\\ a_2 x + b_2 y = c_2, \end{cases} $$ $$\text{se calcula el valor de la incógnita } x \text{ mediante la fórmula:} x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$$ $$\text{donde: } \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} $$ $$\text{y } \Delta_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} $$ $$ \text{similarmente se calcula el valor de la incógnita } y \text{ utilizando la fórmula:} y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$$ $$\text{donde: } \Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} $$ $$\text{y } \Delta_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} $$
Ejemplo 1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de determinantes:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 11,\\ -x + 4y = 1. \end{cases}$$
Primero, escribimos el sistema de ecuaciones en forma de matriz:
$$\left[\begin{array}{rr}2 & 3\\\ -1 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}x\\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}11\\\1\end{array}\right]$$
Luego, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
$$\Delta=\left|\begin{array}{rr}2 & 3\\\ -1 & 4\end{array}\right| = (2)(4) – (-1)(3) = 11$$
A continuación, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes de x:
$$\Delta_x=\left|\begin{array}{rr}11 & 3\\\1 & 4\end{array}\right| = (11)(4) – (1)(3) = 41$$
Por último, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes de y:
$$\Delta_y=\left|\begin{array}{rr}2 & 11\\\ -1 & 1\end{array}\right| = (2)(1) – (-1)(11) = 13$$
Finalmente, sustituimos los valores de los determinantes en las fórmulas de x e y para obtener los valores de las incógnitas:
$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{41}{11} = 3.73$$ $$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{13}{11} = 1.18$$
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: $(x,y) = (3.73, 1.18)$.
Ejemplo 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de determinantes:
$$\begin{cases} x + 2y = 5,\\ 3x + 4y = 11. \end{cases}$$
Siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo anterior, obtenemos:
$$\Delta=\left|\begin{array}{rr}1 & 2\\\3 & 4\end{array}\right| = (1)(4) – (3)(2) = -2$$ $$\Delta_x=\left|\begin{array}{rr}5 & 2\\\11 & 4\end{array}\right| = (5)(4) – (11)(2) = -2$$ $$\Delta_y=\left|\begin{array}{rr}1 & 5\\\3 & 11\end{array}\right| = (1)(11) – (3)(5) = -4$$
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: $(x,y) = (1,1)$.
Consejos Para Resolver Sistemas De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas Utilizando El Método De Determinantes
- Es importante verificar que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero. Si el determinante es igual a cero, entonces el sistema de ecuaciones no tiene solución única.
- Es útil utilizar una calculadora para calcular los determinantes.
- Es importante verificar la solución del sistema de ecuaciones sustituyendo los valores de las incógnitas en las ecuaciones originales.
Conclusión
El Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas Metodo De Determinantes es una poderosa herramienta para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método es relativamente fácil de aprender y se puede utilizar para resolver una amplia variedad de sistemas de ecuaciones lineales. Espero que esta entrada del blog te haya resultado útil. Si tienes alguna pregunta, no dudes en dejar un comentario.
Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas Metodo De Determinantes
Puntos Importantes:
- Método poderoso para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Conclusión:
El Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas Metodo De Determinantes es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Método poderoso para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
El método de determinantes es una forma poderosa de resolver sistemas de ecuaciones lineales porque es:
- Fácil de aprender: El método de determinantes es relativamente fácil de aprender, incluso para los estudiantes que no tienen mucha experiencia en matemáticas.
- Eficiente: El método de determinantes es un método eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Puede utilizarse para resolver sistemas de cualquier tamaño, y no requiere el uso de métodos iterativos o aproximados.
- Versátil: El método de determinantes puede utilizarse para resolver una amplia variedad de sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sistemas con coeficientes reales, complejos o simbólicos.
Además de estas ventajas, el método de determinantes también tiene algunas limitaciones. Por ejemplo, el método de determinantes no puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales que no sean cuadradas. Además, el método de determinantes puede ser inestable numéricamente, lo que significa que puede producir resultados inexactos cuando se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes muy grandes o muy pequeños.
A pesar de estas limitaciones, el método de determinantes sigue siendo una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es un método fácil de aprender, eficiente y versátil que puede utilizarse para resolver una amplia variedad de sistemas de ecuaciones lineales.
