Sistema De Ecuaciones Por El Metodo De Eliminacion Gaussiana

Sistema De Ecuaciones Por El Método De Eliminación Gaussiana

¿Te has enfrentado alguna vez a un sistema de ecuaciones que te ha hecho querer tirar la calculadora por la ventana? Si es así, no estás solo. Los sistemas de ecuaciones pueden ser difíciles, pero hay un método que puede ayudarte a resolverlos fácilmente: el método de eliminación gaussiana.

¿Qué es el método de eliminación gaussiana?

El método de eliminación gaussiana es un algoritmo matemático que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Funciona mediante la eliminación de variables una a una hasta que solo quede una ecuación que pueda resolverse fácilmente.

¿Cuáles son los pasos del método de eliminación gaussiana?

Los pasos del método de eliminación gaussiana son los siguientes:

1. Escribir el sistema de ecuaciones en forma de matriz.
2. Seleccionar una fila de la matriz y eliminarla todas las demás filas que contengan el mismo coeficiente de la variable que se está eliminando.
3. Continuar con este proceso hasta que solo quede una ecuación.
4. Resolver la ecuación restante para encontrar el valor de la variable desconocida.

¿Cómo se usa el método de eliminación gaussiana para resolver problemas?

Para utilizar el método de eliminación gaussiana para resolver problemas, siga estos pasos:

1. Escribir el problema en forma de sistema de ecuaciones.
2. Aplicar los pasos del método de eliminación gaussiana para resolver el sistema de ecuaciones.
3. Interpretar la solución del sistema de ecuaciones para obtener la respuesta al problema.

Ejemplo 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación gaussiana:

$$x + y = 5$$ $$2x – y = 1$$

Solución:

1. Escribir el sistema de ecuaciones en forma de matriz: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$
2. Seleccionar una fila de la matriz y eliminarla todas las demás filas que contengan el mismo coeficiente de la variable que se está eliminando. En este caso, podemos eliminar la segunda fila de la matriz: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$$
3. Continuar con este proceso hasta que solo quede una ecuación. En este caso, podemos eliminar la primera fila de la matriz: $$\begin{bmatrix} 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix}$$
4. Resolver la ecuación restante para encontrar el valor de la variable desconocida. En este caso, podemos resolver la ecuación $$3y = 7$$ para encontrar que $$y = \frac{7}{3}$$.
5. Sustituir el valor de $$y$$ en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de $$x$$. En este caso, podemos sustituir $$y = \frac{7}{3}$$ en la ecuación $$x + y = 5$$ para encontrar que $$x = 5 – \frac{7}{3} = \frac{8}{3}$$.
6. Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $$(x, y) = (\frac{8}{3}, \frac{7}{3})$$.

Ejemplo 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación gaussiana:

$$x + 2y + 3z = 14$$ $$2x + 3y + 4z = 20$$ $$3x + 4y + 5z = 26$$

Solución:

1. Escribir el sistema de ecuaciones en forma de matriz: $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 20 \\ 26 \end{bmatrix}$$
2. Seleccionar una fila de la matriz y eliminarla todas las demás filas que contengan el mismo coeficiente de la variable que se está eliminando. En este caso, podemos eliminar la segunda y tercera fila de la matriz: $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 6 \\ 10 \end{bmatrix}$$
3. Resolver la ecuación restante para encontrar el valor de la variable desconocida. En este caso, podemos resolver la ecuación $$z = 10$$ para encontrar que $$z = 10$$.
4. Sustituir el valor de $$z$$ en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de $$y$$. En este caso, podemos sustituir $$z = 10$$ en la ecuación $$2x + 3y + 4z = 20$$ para encontrar que $$2x + 3y + 40 = 20$$.
5. Resolver la ecuación $$2x + 3y = -20$$ para encontrar que $$y = -\frac{20}{3}$$.
6. Sustituir los valores de $$y$$ y $$z$$ en la primera ecuación original para encontrar el valor de $$x$$. En este caso, podemos sustituir $$y = -\frac{20}{3}$$ y $$z = 10$$ en la ecuación $$x + 2y + 3z = 14$$ para encontrar que $$x = 14 – 2\left(-\frac{20}{3}\right) – 3(10) = 2$$.
7. Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $$(x, y, z) = (2, -\frac{20}{3}, 10)$$.

Conclusión

El método de eliminación gaussiana es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Puede utilizarse para resolver problemas en una amplia variedad de campos, incluyendo la física, la ingeniería y la economía.

Sistema De Ecuaciones Por El Metodo De Eliminacion Gaussiana

Método eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Eliminación sistemática de variables.

Versátil y aplicable en diversas áreas.

Eliminación sistemática de variables.

La eliminación sistemática de variables es un proceso clave en el método de eliminación gaussiana. Consiste en eliminar una variable a la vez de un sistema de ecuaciones hasta que solo quede una ecuación con una sola variable. Esto se logra mediante la combinación lineal de las ecuaciones para crear nuevas ecuaciones que no contengan la variable que se está eliminando.

• Seleccionar una variable para eliminar. La primera variable que se elimina suele ser la que tiene el coeficiente más pequeño en la primera ecuación. Esto hace que sea más fácil crear nuevas ecuaciones que no contengan esa variable.
• Crear una nueva ecuación que no contenga la variable seleccionada. Para ello, se puede sumar o restar las ecuaciones existentes para crear una nueva ecuación que no contenga la variable seleccionada. Por ejemplo, si tenemos las siguientes ecuaciones: $$x + 2y + 3z = 14$$ $$2x + 3y + 4z = 20$$ $$3x + 4y + 5z = 26$$ Podemos sumar la primera y segunda ecuaciones para crear una nueva ecuación que no contenga la variable $$z$$. $$(x + 2y + 3z) + (2x + 3y + 4z) = 14 + 20$$ $$3x + 5y + 7z = 34$$
• Continuar el proceso hasta que solo quede una ecuación con una sola variable. Una vez que se ha creado una nueva ecuación que no contiene la variable seleccionada, se puede repetir el proceso con la nueva ecuación y la siguiente variable que se quiera eliminar. Esto se continúa hasta que solo quede una ecuación con una sola variable.

Una vez que se ha eliminado sistemáticamente todas las variables, se puede resolver la ecuación restante para encontrar el valor de la variable desconocida. A partir de ahí, se pueden utilizar las demás ecuaciones para encontrar los valores de las demás variables.